Kompleksaj nombroj

(en preparo)

La ordinaraj reelaj nombroj havas mankon: oni ne povas esprimi radikon el negativaj nombroj. Aparte tio ĝenis en la solvado de kubaj ekvacioj. Tial la matematikisto Carl Friedrich Gauß enkondukis imaginaran nombron \(i = \sqrt{-1}\) kiel bazon de la kompleksaj nombroj. La kompleksaj nombroj (aŭ kompleksoj) formas dudimensian ebenon, la kompleksan ebenon:

Kompleksan nobron oni povas doni per ortangulaj koordinatoj \(a, b\) aŭ per polusaj koordinatoj \(r, \phi\): \(k = a+b i = r (\cos{\phi} + i \sin{\phi})\). Ĉe tio la \(r\) estas la absoluta valoro de la komplekso: \(r = \sqrt{a^2+b^2}\).

En 1748, la matematikisto Leonhard Euler, montris rilaton inter la ekponencialaj funkcioj kaj trigonometriaj funkcioj je la konstanto \(e=2,718281828459...\), kiun por kompleksaj nombroj oni povas esprimi per la eŭlera formulo: \(r e^{i \phi} = r (\cos{\phi} + i \sin{\phi})\), el kio sekvas ankaŭ la bela formulo kombinanta tri bazajn matematikajn konstantojn: \(e^{i \pi} = -1\).