Diagonaloj kaj radikoj

La rompita mezurilo

Metiisto iam devis elmezuri ŝrankon. Li konstatis ke la ŝranko estis larĝa kaj profunda unu metron kaj alta du metrojn. En la mezo la ŝranko havis breton, kiu dividis ĝin en du fakojn. Kiam li volis ankoraŭ mezuri la diagonalojn, lia mezurilo rompiĝis…. Li pripensis iom kion fari kaj fine trovis elturnon. Li notis tion por la diagonaloj: \(\sqrt 2\), \(\sqrt 3\), \(\sqrt 5\), \(\sqrt 6\).

Kion li celis esprimi? Nu proksimume tion: “mia mezurilo rompiĝis, sed la kvadrato de la malgranda diagonalo…”, (t.e la mezuro multiplikita per si mem) “…devas esti 2, de la granda diagonalo en unu fako 3, tra la tuta ŝranko antaŭe 5 kaj de la malsupra antaŭa angulo al la supra malantaŭa eĉ 6”.

La simbolo √, kiu aspektas kiel rompita mezurilo fakte simbolas literon “r”, kaj efektive ne signfas rompita, sed radiko.

La kvadrato el la diagonalo

Sed kiel li povas scii, ke la longo de la diagonalo ĉe tabulo \(1m \times 1m\) havas la longon, kies kvadrato estas 2? Nu, ni rigardu la sekvan desegnon: la blua kvadrato estas la tabulo kun flankoj longaj je 1m, kaj la ruĝa kvadrato havas flankojn longaj laŭ ĝia diagonalo. Kiel oni vidas, eblas meti la triangulan duonon de la blua kvadrato kvarfoje en la ruĝan kvadraton. Ni scias, ke la malgranda kvadrato havas areon \(1m \cdot 1m = 1m^2\) kaj sekve la ruĝa kvadrato devas havi la duoblan areon, tio estas \(2m^2\). Kaj el tio ni scias, ke la longo de ĝia flanko multiplikita per si mem rezultas en 2.

La babilona metodo

Nu, “bele, bele”, vi certe diras, sed la ja mezurilo estas ankoraŭ rompita, kaj ni ankoraŭ ne scias kiel longa estas la diagonalo. Sed feliĉe la sciencistoj de Babilono jam antaŭ pli ol tri mil jaroj eltrovis metodon kiel eltiri la radikon el areo de kvadrato.

(Ĉar oni ne scias, kiu en Babilono inventis la metodon, sed la greko Herono de Aleksandrio kelkajn jarojn post Kristo priskribis ĝin en sia libro, oni nomas ĝin ankaŭ metodo de Herono.)

Ni komencas per rektangulo kun areo de \(A=1m \cdot 2m = 2m^2\) kaj “knedas” ĝin tiom longe ĝis ĝi estas kvadrato:

Por tio ni donas al unu flanko la mezvaloron inter longa kaj mallonga flankoj:

\[{\displaystyle x_{1}={\frac {x_{0}+y_{0}}{2}}}\]

kaj per la areo elkalkulas la longon de la alia flanko:

\[{\displaystyle y_{1}={\frac {A}{x_{1}}}}\]

Tion ni ripetas, ĝis ambaŭ flankoj estas pli malpli samlongaj kaj havas do la longon de nia serĉata diagonalo.

areo A
longo \(x_0\)

[paŝo➤] [rekomencu]

paŝoj	0
flanko 1 (\(x_ₙ\))
flanko 2 (\(A/x_ₙ\))
eraro	0

n	xₙ (alproksimo)	yₙ = A/xₙ	diferenco (eraro)

Nun ankoraŭ mankas la klarigoj pri la aliaj radikojn: \(\sqrt 3\), \(\sqrt 5\), \(\sqrt 6\). Pri tiuj ni turnos nin al alia antikva matematikisto, Pitagoro de Samoso, kiu vivis kvincent jarojn antaŭ Kristo.

(Cetere, per tiuj kuboj kun la longo 1 oni povas ricevi plurajn aliajn longojn inter iliaj anguloj, egalaj al radikoj de entjeroj. Sed ne eblas ricevi longon \(\sqrt 7\) laŭ tiu maniero. Tion montras teoremo de tri kvadratoj, pruvita de franca matematikisto Legendre je 1997)