Ideala gaso
Ideala gaso estas simpligita modelo de realaj gasoj, en kiu oni supozas, ke la eroj havas mason sed neniun etendon kaj ne interagas per elektromagnetaj fortoj. Ili ne rotacias aŭ vibras kaj la energio de tiu ideala gaso estas pure la suma kineta energio de la eroj. Kvankam tre simpligita, tiu modelo estas konvena por priskribi ecojn de gasoj kaj ties statoŝanĝoj per relative simplaj matematikaj kalkuloj. Realajn gasojn oni priskribas per formuloj, kiuj modifas la formulojn de ideala gaso. Plej simile al ideala gaso kondutas la noblaj gasoj kaj hidrogeno.
La kinetan energion de \(N\) gaseroj kun maso \(m\) kaj rapideco \(v\) oni ricevas kiel sumo 1:
\[E=\sum_{n=1}^N{1/2 \cdot m \cdot v_n^2}\]La temperaturon de ideala gaso oni tiam ricevas per la konstanto de Boltzmann \(k_B = \pu{1,380649e-23 J / K}\) 2
\[T = \frac{\frac{2}{3} E}{N \cdot k_B}\]Por la produkto de premo kaj volumeno de ideala gaso cetere validas la stato-ekvacio 3:
\[p \cdot V = N \cdot k_B \cdot T \tag{1}\]aŭ sur makroskopa skalo por mola kvanto \(n\) kaj la universala gaskonstanto \(R = N_A \cdot k_B = \pu{8,31446261815324 J // mol K}\):
\[p \cdot V = n \cdot R \cdot T\]Tiel oni povas ekzemple elkalkuli, kiom da gaseroj enhavas volumeno de 100 nm³ sub normaj kondiĉoj de \(\pu{1000 hPa}\) kaj \(\pu{293,15 K}\):
\[N = pV / (k_B T) = \frac{\pu{e5 kg // m s^2} \cdot \pu{e-21 m^3}}{\pu{1,38e-23 m^2 kg // K s^2} \cdot \pu{293,15 K}} \approx \pu{25000}\]Ni komparu kun reala heliumo de norma denso \(\pu{0,1785 kg/m^3}\). Tiu havas iom pli da atomoj en la sama volumeno:
\[N_{He} = \frac{\pu{0,1785 kg/m^3} \cdot \pu{e-21 m^3} }{ \pu{6,64e-27kg}} \approx \pu{27000}\]La mezuman energion kaj rapidon de unuopa gasero kun maso \(\pu{4 u}\) (maso de heliumatomo), ni ricevas kiel:
\[\begin{align} E &= \frac{3}{2} k_B T = \pu{1,38e-23 m^2 kg // K s^2} \cdot \pu{293,15 K} = \pu{6,07e-21 J}\\ v &= \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot \pu{ 6,07e-21 kg m^2 // s^2}}{\pu{6,64e-27kg}}} \approx \pu{1350 m/s}\end{align}\]Mezumaj rapidoj de realaj gasmolekuloj devias de tiu nombro pli aŭ malpli (hidrogeno 1754, heliumo 1245, vaporo 585, nitrogeno 470, argono 394, karbondioksido 375)4.
eksperimento
En nia eksperimento ni provas simuli idealan gason en kubo kun latera longeco de 50nm. En normaj kondiĉoj, t.e. 20 °C = 293,15 K kaj premo de 1000 hPa, tiu volumeno enhavas proksimume 3090 gaserojn. Ĉe heliumo, kiu kondutas proksimume kiel ideala gaso, estus 3360 atomoj.
Ĉar ne eblas montri en modelo rapidojn de je 1 km/s, ni simple malrapidigas la tempon je faktoro \(10^{-11}\). Per tio la punktoj en nia simulado moviĝas je ĉirkaŭ 10nm/s, kio en nia modelo estas 100 bilderoj respektive kvinono de la bildalto. La bildigataj gaseroj respondas proksimume al la grandeco de heliuma atomo kun radiuso de 0,14 nm = 1,4 bilderoj.
simulado de ideala gaso
| volumeno (nm³) | |
| rapido (Ø m/s) | |
| energio (J) | |
| temperaturo (K) | |
| premo (Pa) |
premo, volumeno kaj temperaturo (kolore)
Averto: pro la malgrandeco de la eksperimento, la premo kaj la temperaturo povas iomete devii de la teroriaj valoroj.
temperaturkonserva kaj varmkonserva statoŝanĝoj
Kiam oni tenas sistemon kun ideala gaso je konstanta temperaturo la produkto de premo kaj volumeno restas konstanta kongrue al la formulo (1). Do se oni grandigas aŭ malgrandigas la volumenon proporcie, malaltiĝas aŭ altiĝas la premo. Desegnante tiajn temperaturkonservajn (izotermajn) statoŝanĝojn en diagramo, oni ricevas hiperbolajn kurbojn.
Kiam ni ŝanĝas la volumenon en nia eksperimento, kiu simulas varmizolitan ujon en tiu kazo, la temperaturo tamen iom ŝanĝigas samtempe kun la premo. Efektive la ena energio de la sistemo, kondiĉe ke ĝi estas varmizolita, iomete ŝanĝiĝas: per puŝo de piŝto (aŭ flanka vando) malgrandigante la volumenon, aldoniĝas laboro (en mikroskopa skalo la gaseroj ricevas ekstran puŝeton de la vando ĉe ĉiu kolizio). Kaj inverse, se la volumeno grandiĝas, la sistemo plenumas laboron, t.e perdas iom da energio, transdonata al la piŝto aŭ vando. Tian statoŝanĝon oni nomas varmkonserva aŭ adiabata5.
Tiu energiŝanĝo estas kalkulebla per:
\[dE = -N k_B T \cdot \frac{dV}{V}\]Por ricevi temperaturkonservan (kaj sekve energikonservan) volumenan ŝanĝon, necesas egaligi la perditan aŭ gajnitan energion per varminterŝanĝo kun la ekstera medio.
sonrapido en ideala gaso
Cetere la rapido de sono en gaso estas malpli alta ol la mezuma rapido de la gaseroj. Oni povas elkalkuli ĝin por ideala gaso per6:
\[c = \sqrt{\frac{3}{2}\frac{k_B T}{m}} = \sqrt{\frac{3}{2}\frac{R T}{M}}\]Por norma temperaturo kaj mola maso \(\pu{4 g}\) de heliumo ni ricevas:
\[c = \sqrt{\frac{\pu{8,314 J // mol K} \cdot \pu{293,15 K}}{\pu{0,004 kg // mol}}} = \pu{955 m/s}\]En reala heliumo oni mezuras iom pli altan sonrapidon de \(\pu{980 m/s}\).